LINGKARAN

A. Pengertian

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran
Lingkaran ada yang berpusat pada O(0,0), dan P(a,b)

B. Persamaan Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r

Syarat menemukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran x² + y² = r²

Titik A(a,b) berada didalam lingkaran jika x² + y² < r²
Titik A(a,b) berada pada lingkaran jika x² + y² = r²
Titik A(a,b) berada diluar lingkaran jika x² + y² > r²

Contoh soal :

1.Tentukan Persamaan lingkaran pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:

r = 5 —-> Jawab x² + y² = 25
r = 2½ —-> Jawab x² + y² = 6¼
r = 1,1 —-> Jawab x² + y² = 1,21
r = √3 —-> Jawab x² + y² = 3

Soal-soal Latihan

Soal 1

Gambar diatas merupakan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y. Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Soal 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan: x² + y² = 144, Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!

Soal 3
Persamaan lingkaran pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1) adalah….

Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x² + y² = 144, tentukan persamaan lingkaran yang sepusat, tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah….

Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x² + y² = 41 maka nilai a adalah….

Soal 6
Tentukan Persamaan Lingkaran 2x² + 2y² = 50, kemudian gambarlah dalam diagram cartesius

Soal 7
Tentukan Persamaan lingkaran dan tentukan letak titik apakah didalam, pada, atau diluar lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik M(2,-3)

C. Persamaan Lingkaran Pusat (a,b) dan jari-jari r

Bentuk baku persamaan lingkaran :
x² + y² + Ax + By + C = 0

(a, b) = $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

r² = $\frac{A^{2}}{4}$ + $\frac{B^{2}}{4}$ $\frac{A^{2}}{4}$ − C

Contoh Soal 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab :

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)² + (y – b)² = r²

(x- 3)² + (y – 2)² = 4²
(x- 3)² + (y – 2)² = 16

Contoh Soal 2
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
a. (x – 3)² + (y – 7)² = 9
b. (x – 8)² + (y + 5)² = 6

Pembahasan

a. (x – 3)² + (y – 7)² = 9

pusat di (3,7) dan

jari-jari r = √9 = 3

b. (x – 8)² + (y + 5)² = 6

pusat di (8,-5) dan

jari- jari r = √6

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

Jawab

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)² + (y – b)² = r²

(x- 2)² + (y – 3)² = 25

Soal-soal Latihan

Soal 1

Dari lingkaran tersebut, Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran

Soal 2
Titik pesat sebuah lingkaran adalah P(2,-1) dengan jari-jari lingkaran 4 satuan tentukan kedudukan titik A(3,5) terhadap lingkaran tersebut(didalam, diluar atau tepat pada lingkaran)

D. Pembahasan Soal-soal UN

1.(UN 2013) Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah ….

A.   x² + y² − 8x + 6y = 0
B.   x² + y² + 8x − 6y + 16 = 0
C.   x² + y² − 8x + 6y + 16 = 0
D.   x² + y² + 8x − 6y + 9 = 0
E.   x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0

Pembahasan UN 2013

Persamaan lingkaran dengan pusat (x₁, y₁) dan jari-jari r dirumuskan:
(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
Berdasarkan rumus di atas, persamaan lingkaran dengan pusat (4, −3) dan diameter 8 (jari-jari 4) adalah:
(x − 4)² + (y + 3)² = 4²
x² − 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 16
x² + y² − 8x + 6y + 9 = 0
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik (4, −3) dan berdiameter 8 cm adalah opsi (E).

2.(UN 2013) Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah …
A. x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0
B. x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0
C. x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
D. x² + y² + 4x + 6y + 3 = 0
A. x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan UN 2013

d = 8 → r = 4
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 4 adalah
(x − 2)² + (y − 3)² = 4²
x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16
x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0
Jawaban : A

Keterangan : Untuk menyelesaikan soal-soal dibawah ini terlebih dahulu pelejari garis singgung pada lingkaran

1.(UN 2015) Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah ….

A.   x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0
B.   x² + y² − 2x − 6y + 5 = 0
C.   x² + y² + 2x + 6y + 5 = 0
D.   x² + y² − 2x + 6y + 15 = 0
E.   x² + y² + 2x + 6y + 15 = 0

Pembahasan UN 2015

Jarak antara titik pusat lingkaran (x₁, y₁) terhadap garis singgung ax + by + c = 0 merupakan jari-jari lingkaran tersebut yang dirumuskan:

Sehingga jari-jari yang berpusat di titik (1, −3) dan menyinggung garis x + 2y + 10 = 0 adalah:

Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah:
(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
(x − 1)² + (y + 3)² = (√5)²
x² − 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 5
x² + y² − 2x + 6y + 5 = 0
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (A).

2.(UN 2011) Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah ….

A.   3x − 4y − 41 = 0
B.   4x + 3y − 55 = 0
C.   4x − 5y − 53 = 0
D.   4x + 3y − 31 = 0
E.   4x − 3y − 40 = 0

Pembahasan 20111

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0 di titik (x₁, y₁) dirumuskan sebagai:
x₁ x + y₁ y + ½A(x₁ + x) + ½B(y₁ + y) + C = 0
Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah:
7x + 1y − 3(7 + x) + 2(1 + y) − 12 = 0
7x + y − 21 − 3x + 2 + 2y − 12 = 0
4x + 3y − 31 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (D).

3. (un 2014) Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah ….

A.   5x + 12y − 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
B.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
C.   5x + 12y + 20 = 0 dan 5x + 12y + 58 = 0
D.   12x + 5y − 20 = 0 dan 5x + 12y − 58 = 0
E.   12x + 5y − 20 = 0 dan 12x + 5y + 20 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran pada soal di atas dapat disederhanakan dengan cara membagi 2 pada setiap sukunya.
2x² + 2y² + 4x − 8y − 8 = 0
x² + y² + 2x − 4y − 4 = 0
Setelah itu, kita ubah bentuk umum tersebut menjadi bentuk baku dengan menggunakan kuadrat sempurna.
x² + y² + 2x − 4y = 4
(x + 1)² + (y − 2)² = 4 + 1² + (−2)²
(x + 1)² + (y − 2)² = 9
Bila dibandingkan dengan bentuk bakunya:
(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
Diperoleh:
x₁ = −1
y₁ = 2
r² = 9
r = 3
Sementara itu, persamaan garis singgung lingkaran tersebut sejajar dengan garis 5x + 12y − 15 = 0. Artinya, gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.
Gradien garis 5x + 12y − 15 = 0 adalah:
m = −a/b
= −5/12
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dirumuskan:

Kalikan semua suku dengan 12.
12y − 24 = −5(x + 1) ± 3∙13
12y − 24 = −5x −5 ± 39
Kita ambil nilai plus dan minus untuk persamaan di atas:
I. 12y − 24 = −5x −5 + 39
5x + 12y − 58 = 0
II. 12y − 24 = −5x −5 − 39
5x + 12y + 20 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah opsi (B)

4. (un 2012) Lingkaran L ∶ (x + 1)² + (y − 3)² = 9
memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ….
A.   x = 2 dan x = −4
B.   x = 2 dan x = −2
C.   x = −2 dan x = 4
D.   x = −2 dan x = −4
E.   x = 8 dan x = −10

Pembahasan

Titik potong antara lingkaran dan garis dapat dicari dengan cara substitusi y = 3 pada lingkaran L.
(x + 1)² + (y − 3)² = 9
(x + 1)² + (3 − 3)² = 9
(x + 1)² = 9
x + 1 = ±3
x = ±3 − 1
x₁ = 2
x₂ = −4
Sehingga titik potong lingkaran dan garis tersebut adalah:
(2, 3) dan (−4, 3)
Titik potong tersebut juga merupakan titik singgung lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran (x + 1)² + (y − 3)² = 9 melalui (x₁, y₁) dirumuskan:
(x₁ + 1)(x + 1) + (y₁ − 3)(y − 3) = 9
Substitusi (2, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2
Substitusi (−4, 3) sebagai (x₁, y₁) diperoleh:
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(y − 3) = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4
Jadi, garis singgung lingkaran tersebut adalah x = 2 dan x = −4 (A)

E. Soal Latihan

Titik pusat Lingkaran P(2,1) dengan jari-jari lingkaran 4 satuan, periksalah kedudukan sebuah titik A(3,5) terhadap lingkaran tersebut, apakah berada didalam, di luar atau tepat pada garis lingkaran
Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran x² + y²+ 4x – 12y + 1 = 0 !
Diketahui persamaan lingkaran x² + y² + 6x – 8y +24 = 0, tentukan titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran tersebut
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut: x² + y² −2x + 4y + 1 = 0, Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =….
Ubahlah persamaan lingkaran berikut kedalam bentuk persamaan x² + y²+Ax + By + C = 0

a. (x + 1)² + ( y + 2)² =5²
b. (x + 3)² + ( y + 5)² =4²
c. 2(x – 4)² + 2( y – 7)² =1^2.

6. Diketahui lingkaran dengan persamaan x² + y² – 6x – 4y + 9 = 0. Tentukan:

a. Pusat dan jari-jari ingkaran tersebut
b. persamaan lingkaran yang pusatnya di (-2,3) dan jari-jarinya sama dengan lingkaran tersebut

A. Pengertian

B. Persamaan Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r

C. Persamaan Lingkaran Pusat (a,b) dan jari-jari r

D. Pembahasan Soal-soal UN

E. Soal Latihan

Be the first to comment

Leave a Reply Cancel reply