GARIS SINGGUNG LINGKARAN

A. Konsep Dasar Lingkaran

Persamaan lingkaran
Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x2 + y2 = r2

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Bentuk baku persamaan lingkaran :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0

(a, b) = (A/2,B/2)

r2 = A2/4 + B2/4  − C

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
PGS di titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah :
x1 x + y1 y = r2

PGS di titik (x1, y1) pada lingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2 adalah :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

PGS lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah :
y = mx ± r1+m2−−−−−−√

PGS lingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dengan gradien m adalah :
y − b = m(x − a) ± r1+m2−−−−−−√

Gradien Garis
y = ax + b → m = a
ax + by + c = 0 → m = ab

Garis p sejajar garis q :
mp = mq

Garis p tegak lurus terhadap garis q :
mp . mq = −1

Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x positif :
m = tan θ

Jarak titik (x1, y1) dan (x2, y2)
d = (x1x2)2+(y1y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Jarak titik (x1, y1) ke garis ax + by + c = 0
d = ∣∣ax1+by1+ca2+b2∣∣

B. Pembahasan Soal-Soal UN

1.UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 adalah …
A.  2x − y = 14
B.  2x − y = 10
C.  2x − y = 5
D.  2x − y = −5
E.  2x − y = −6

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
mg = gradien garis 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 → mg = 2

Karena garis singgung sejajar garis 2x − y + 4 = 0, maka
m = mg
m = 2

x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0
A = −2 ; B = 6 ; C = −10

(a, b) = (A2,B2)
(a, b) = ((2)2,62)
(a, b) = (1, −3)

r2 = A24 + B24  − C
r2 = (2)24 + 624  − (−10)
r2 = 20
r = 20−−√

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r1+m2−−−−−−√
y + 3 = 2(x − 1) ± 20−−√1+22−−−−−√
y + 3 = 2x − 2 ± 10
y = 2x − 5 ± 10

y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5
y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15

Jawaban : D

2. UN 2015
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah …
A.  y = 2x − 14
B.  y = 2x − 11
C.  y = 2x + 5
D.  y = 2x + 9
E.  y = 2x + 15

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
mg = gradien garis x + 2y + 1 = 0

x + 2y + 1 = 0 → mg = 12

Karena garis singgung tegak lurus terhadap garis x + 2y + 1 = 0, maka
m . mg = −1
m . 12 = −1
m = 2

x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0
A = 2 ; B = −6 ; C = −10

(a, b) = (A2,B2)
(a, b) = (22,(6)2)
(a, b) = (−1, 3)

r2 = A24 + B24  − C
r2 = 224 + (6)24  − (−10)
r2 = 20
r = 20−−√

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r1+m2−−−−−−√
y − 3 = 2(x + 1) ± 20−−√1+22−−−−−√
y − 3 = 2x + 2 ± 10
y = 2x + 5 ± 10

y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15
y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5

Jawaban : E

3. UN 2015
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah …
A.  x2 + y2 + 2x + 4y − 27 = 0
B.  x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
C.  x2 + y2 + 2x − 4y − 32 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 2y − 32 = 0
E.  x2 + y2 − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan :
Jarak titik (x1, x2) ke garis ax+by+c=0 adalah
d = ∣∣ax1+by1+ca2+b2∣∣

Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−1, 2) ke garis x+y+7=0.
r = ∣∣1(1)+1(2)+712+12∣∣ = 4√2

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 1)2 + (y − 2)2 = (4√2)2
x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 32
x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban : B

3. UN 2013
Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah …
A.  x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0
B.  x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0
C.  x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
D.  x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0
A.  x2 + y2 + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan :
d = 8 → r = 4

Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 4 adalah
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 42
x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0

Jawaban : A

4. UN 2012
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y − 3)2  = 9 memotong garis y = 3.Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …
A.  x = 2 dan x = −4
B.  x = 2 dan x = −2
C.  x = −2 dan x = 4
D.  x = −2 dan x = −4
E.  x = 8 dan x = −10

Pembahasan :
(x + 1)2 + (y − 3)2  = 9
(a, b) = (−1, 3)
r2 = 9

Titik potong lingkaran dengan garis y =3 adalah
(x + 1)2 + (3 − 3)2  = 9
(x + 1)2 = 9
x + 1 = ±3
x + 1 = 3 atau x + 1 = −3
x = 2 atau x = −4

diperoleh titik potong (−4, 3) dan (2, 3)

PGS di titik (2, 3)
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2

PGS di titik (−4, 3)
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4

Jawaban : A

5. UN 2008
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0 adalah …
A.  −2x − y − 5 = 0
B.  x − y + 1 = 0
C.  x + 2y + 4 = 0
D.  3x − 2y + 4 = 0
E.  2x − y + 3 = 0

Pembahasan :
Persamaan lingkaran :
x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0
A = 12 ; B = −6 ; C = 13

Pusat lingkaran (a, b) :
(a, b) = (A2,B2)
(a, b) = (122,(6)2)
(a, b) = (−6, 3)

r2 = A24 + B24  − C
r2 = 1224 + (6)24  − 13
r2 = 32

Melalui titik (x1, y1) = (−2, −1)

Persamaan garis singgung :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−2 + 6)(x + 6) + (−1 − 3)(y − 3) = 32
4x + 24 − 4y + 12 = 32
4x − 4y + 4 = 0
x − y + 1 = 0

Jawaban : B

6. UN 2007
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)2 + (y + 1)2  = 13 di titik yang berabsis −1 adalah …
A.  3x − 2y − 3 = 0
B.  3x − 2y − 5 = 0
C.  3x + 2y − 9 = 0
D.  3x + 2y + 9 = 0
E.  3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :
(x − 2)2 + (y + 1)2  = 13
(a, b) = (2, −1)
r2= 13

Untuk absis −1, maka :
(−1 − 2)2 + (y + 1)2  = 13
9 + (y + 1)2  = 13
(y + 1)2  = 4
y + 1 = ±2
y + 1 = 2 atau y + 1 = −2
y = 1 atau y = −3

diperoleh titik singgung :
(−1, 1) dan (−1, −3)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 1) :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−1 − 2)(x − 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 + 2y + 2 = 13
−3x + 2y − 5 = 0
3x − 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung di titik (−1, −3) :
(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2
(−1 − 2)(x − 2) + (−3 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 − 2y − 2 = 13
−3x − 2y − 9 = 0
3x + 2y + 9 = 0

Jawaban : D

7. UN 2006
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif adalah …
A.  x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0
B.  x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
C.  x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0
E.  x2 + y2 − 2x − 2y + 4 = 0

Pembahasan :
Lingkaran menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif, sehingga pusatnya dapat ditulis :
P(−a, −b) dengan a = b

Substitusi P(−a, −b) pada garis :
2(−a) − 4(−b) − 4 = 0
−2a + 4b − 4 = 0

Karena a = b, maka :
−2a + 4a − 4 = 0
2a = 4
a = 2

Diperoleh pusat lingkaran :
P(−a, −b) = P(−2, −2)

dengan jari-jari :
r = |−a| = |−b| = 2

Persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y + 2)2  = 22
x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

Jawaban : A

8. UN 2003
Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, −2) adalah …
A.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12
B.  y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8
C.  y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4
D.  y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8
E.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22

Pembahasan :
Diameter lingkaran adalah jarak dari titik (7, 6) ke titik (1, −2), yaitu :
d = (71)2+(6(2))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ = 10
r = 12d = 5

Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter, yaitu :
(a, b) = (7+12,6+(2)2) = (4, 2)

Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, maka :
m = tan 120°
m = −√3

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r1+m2−−−−−−√
y − 2 = −√3(x − 4) ± 51+(3–√)2−−−−−−−−−√
y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10
y = −√3x + 4√3 ± 12

y = −√3x + 4√3 + 12
y = −√3x + 4√3 − 12

Jawaban : A

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*