PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

06/11/2017 Syaiful Nurhidayat, M.Pd MATEMATIKA 0

A. Konsep Pertidaksamaan Logaritma

  • Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan langsung dengan tanda pertidaksamaan yaitu >,≥,<,>,≥,<.
  • Untuk a∈R,a>0,a≠1,a∈R,a>0,a≠1, serta fungsi f(x) dan g(x) bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai a (basisnya) :
    (i). Untuk  a > 1, tanda pertidaksamaannya tetap (tidak berubah) :

alog ⁡f(x) > alog ⁡g(x)  –>  f(x) > g(x)
alog⁡ f(x) ≥ alog⁡ g(x)  –>  f(x) ≥ g(x)
alog⁡ f(x) < alog⁡ g(x)  –>  f(x) < g(x)
alog ⁡f(x)  ≤ alog⁡g(x)  –>  f(x) ≤ g(x)

(ii). Untuk 0 < a < 1 , tanda pertidaksamaannya berubah (dibalik) :

alog ⁡f(x) > alog ⁡g(x)  –>  f(x) < g(x)
alog⁡ f(x) ≥ alog⁡ g(x)  –>  f(x) ≤ g(x)
alog⁡ f(x) < alog⁡ g(x)  –>  f(x) > g(x)
alog ⁡f(x)  ≤ alog⁡g(x)  –>  f(x) ≥ g(x)

Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : f(x)>0,  g(x)>0

Langkah-langkah menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan logaritma:

  1. Ubah semua bentuk n x plog a menjadi plog an dan bilangan tetap c menjadi plog pc
  2. usahakan agar logaritma terdapat pada kedua ruas pertidaksamaan. Kemudian samakan bilangan pokoknya
  3. Satukan semua logaritma diruas kiri dan kanan dengan menggunakan sifat logaritma
  4. hasil akhir akan berbentuk pertidaksamaan
  5. selesaikan pertidaksamaan tersebut dengan memperhatikan bilangan pokok a (lihat sifat pertidaksaman logaritma diatas)
  6. perhatikan persyaratan f(x)>0,  g(x)>0
  7. Gabungkan langkah 5 dan 6
  8. Tentukan HP dari langkah 7, untuk mempermudah menentukan HP gambarlah grafiknya.

B. Contoh Soal

1.  5log 3x + 5 < 5log 35
Pembahasan :
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ….. (1)
3x + 5 < 35
      3x < 30
        x < 10  ….(2)
Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.
 2.  3log (2x + 3) > 3log 15
Pembahasan :
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ….. (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
      2x > 12
        x > 6  ….(2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Pembahasan :
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 …. (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ….. (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
 6x – x < 27 – 2
      5x < 25
        x < 5   ….. (3)
Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
 4.  2log (5x – 16) < 6
Pembahasan :
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 …. (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2log (5x – 16) < 2log 26
2log (5x – 16) < 2log 64
         5x – 16 <  64
                5x < 80
                  x < 16 . . . . (2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
5.  4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
Pembahasan :
Syarat nilai pada logaritma.
2x2 + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)
x2 + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2 + 24) >  (x2 + 10x)
2x2 – x2 – 10x + 24 > 0
        x2 – 10x + 24 > 0
        (x – 4)(x – 6) >
       x < 4 atau x > 6 ….(3)
 Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.
 6.  x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Pembahasan :
Syarat nilai pada bilangan x+1>0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.
Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) >  (x + 5)
   2x – x > 5 + 3
          x >  8         …(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.
 Untuk  x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2       . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) <  (x + 5)
   2x – x < 5 + 3
          x <  8         …(4)
    Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.
 Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.
 7.  2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Pembahasan :
Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.
Untuk  0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3        . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3                       . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x – 4x – 12 < 0
        x2 + x – 12 < 0
    (x + 4)(x – 3) < 0
       -4 < x < 3              . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.
     Untuk  2x-5 > 1 atau  x > 3       . . . (1)
     Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)
4x – 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) > (4x + 12)
x2 + 5x – 4x – 12 > 0
         x2 + x – 12 > 0
(x + 4)(x – 3) > 0
x <-4 atau  x > 3        . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.
 Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.

C. Latihan Soal

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut

a. 3log x + 3log (2x – 3) < 3
b. (1/(2log x) – 1/(2log x – 1)) < 1

2. (UN 2006) Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

A. x > 6                                   D. – 8 < x < 6
B. x > 8                                   E. 6 < x < 8
C. 4 < x < 6

3. (UN 2005) 2log x ≤ log (2x + 5) + 2log 2 adalah ….

A. < x  8                                   D. – 2 < x < 0
B. – 2 x  10                              E. x < 0
C. 0 < x 10

4. (UN 2004) Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….

A. { 3 }                                      D. { –3, –1,1,3 }
B. { 1,3 }                                   E. { –3, –1,0,1,3 }
C. { 0,1,3 }

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*