LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan a^c = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai:

^alog b = c, dengan syarat a > 0 dan $a \ne 1$

a^x = b ↔ x = ^alog b

Syarat b > 0 , a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan :

a → bilangan pokok atau basis logaritma.
b → hasil pemangkatan atau bilangan yang dilogaritma
x → bilangan pangkat atau hasil logaritma

Contoh bilangan logaritma:

Perpangkatan	Contoh Logaritma
2¹ = 2	²log 2 = 1
2⁰ = 1	²log 1 = 0
2³ = 8	²log 8 = 3
2-³ = 8	²log = – 3
$9^{\frac{3}{4}} = 3 \sqrt{3}$	⁹log $3 \sqrt{3} = \frac{3}{4}$
10³ = 1000	log 1000 = 3

B. Sifat-sifat Logaritma

^xlog (bc) = ^xlog b + ^xlog c
^xlog c = c
^xlog $\frac{p}{q}$ = ^xlog p – ^xlog q
^xlog 1 = 0
^xlog b^c = c. log b
^xlog b . ^blog c = ^xlog c
^xlog x = 1
^alog b = $\frac{1}{^b log a}$
^alog $\frac{p}{q}$ = – ^alog $\frac{q}{p}$
^alog b^p = p. ^alog b
$^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b$
^alog a^p $a^{^a log m} = m$

C.Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan

Contoh 1 (EBTANAS ’98)

Diketahui ³log 5 = x dan ³log 7 = y. maka, nilai dari ³log 245 ^1/2 adalah … ?

Pembahasan 1

³log 245 ^½ = ³log (5 x 49) ^½

³log 245 ^½ = ³log ((5) ^½ x (49) ^½)

³log 245 ^½ = ³log (5) ^½ + ³log (7²) ^½

³log 245 ^½ = $\frac{1}{2}$ ( ³log 5 + ³log 7)

³log 245 ^½ = $\frac{1}{2}$ (x + y)

Jadi, nilai dari ³log 245 ^1/2 adalah $\frac{1}{2}$ (x + y)

Contoh 2 (UMPTN ’97)

Jika b = a⁴, nilai a dan b positif, maka nilai ^alog b – ^blog a adalah …?

Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a⁴, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

^alog b – ^blog a = ^alog a⁴ – $^{a^4} log a$

^alog b – ^blog a = 4 (^alog a) – $\frac{1}{4}$ ( ^alog a)

^alog b – ^blog a = 4 – $\frac{1}{4}$

^alog b – ^blog a = $3 \frac{3}{4}$

Jadi, nilai dari ^alog b – ^blog a pada soal tersebut adalah $3 \frac{3}{4}$ .

Contoh (UMPTN ’97)

Jika ^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = 2, maka tentukanlah nilai a.

Pembahsan 3

Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi ^alog a²= 2, maka didapat :

^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = 2

^alog (1- ³log $\frac{1}{27}$ ) = ^alog a²

Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan:

1- ³log $\frac{1}{27}$ = a²

³log 3 – ³log $\frac{1}{27}$ = a²

³log 3 – ³log 3^(-3)= a²

³log $\frac{3}{3^{(-3)}}$ = a²

³log 3⁴ = a²

4 = a²

Sehingga diperoleh nilai a = 2