PERSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Rumus Dasar Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

• Menyelesaikan persamaan sin x = sin α

sin α = sin (180⁰ – α) + k.360⁰
sin α = sin (α + k.360⁰)
sin α = sin (π – α) + k.2π
sin α = sin (α + k.2π)

• Menyelesaikan persamaan cos x = cos α

cos α = cos (- α)
cos α = cos (α + k.360⁰)
cos α = cos (- α)
cos α = cos (α + k.2π)

• Menyelesaikan persamaan tan x = tan α

tan α = tan (180⁰ + α)
tan α = tan (α + k.360⁰)
tan α = tan (π + α)
tan α = tan (α + k.2π)

• Menyelesaikan persamaan sin x = a, cos x = b, atau tan x = c
  • Invers dari fungsi trigonometri selalu menghasilkan sudut
  • Invers ditulis dengan pangkat negarif 1 (-1) atau arc, atau inv

Untuk 0⁰≤ x ≤ 360⁰ berlaku :

a. Jika sin x = a maka sin x = sin(sin^-1 a), sehingga x = sin^-1 a atau  x = 180⁰ – sin^-1 a

b. Jika cos x = b maka cos x = cos (cos^-1 a), sehingga x = cos^-1 b atau  x = 360⁰ – cos^-1 b

c. Jika tan x = c maka tan x = tan (tan^-1 c), sehingga x = tan^-1 c atau  x = 180⁰ + tan^-1 c

• Menyelesaikan persamaan a sin x + b cos x = c
• Menyelesaikan persamaan Trigonometri yang berbentuk Persamaan Kuadrat
• Menyelesaikan persamaan Trigonometri dengan tabel dan kalkulator

B. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin x =1/2 pada interval 0⁰≤ x ≤ 360⁰

Pembahasan
sin x =1/2
sin x = sin 30⁰
x = 30⁰ + k.360⁰ atau x = (180⁰ – 30⁰) + k.360⁰
x = 30⁰ + k.360⁰ atau x = 150⁰ + k.360⁰

Tentukan nilai x dengan menentukan k = {0,1,2,3,…}

Untuk k = 0
x = 30⁰ + 0 atau x = 150⁰ + 0
x = 30⁰ atau x =150⁰
Untuk k = 1
x = 30⁰ + 360⁰ atau x = 150⁰ + 360⁰
x = 390⁰ atau x = 510⁰

Jadi HP={30⁰,150⁰}

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2x =   pada interval 0⁰≤ x ≤ 360⁰

Pembahasan

sin 2x =

sin 2x = sin

2x =  atau 2x = 

x = atau x =

untuk k = 0

x =  atau x = 

x =  atau x = 

untuk k = 1

x =  atau x = 

x =  atau x = 

untuk k = 2

x =  atau x = 

x =  atau x = 

Jadi HP = {,,,}

C. Latihan Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x =   pada interval 0⁰≤ x ≤ 2π
2. Tentukan himpunan penyelesaikan dari  untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan sin 2x = 0,6665  untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
4. Tentukan HP Untuk persamaan cos x =  untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
5. Persamaan y = -10 cos 3t mewakili gerak sebuah benda yang bergantung pada sebuah pegas setelah ditarik  sejauh 10 cm di bawah titik kesetimbangan, pegas tersebut dilepaskan (hambatan gerak di udara diabaikan). Nilai y menentukan posisi benda dalam cm di atas titik kesetimbangan (y positif) setelah t detik dengan 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰ Tentukan kapan benda akan mencapai puncak (titik tertinggi diatas titik kesetimbangan)
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin² x – 5 sin x = 3 untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
7. Tentukan penyelesaian dari persamaan tan 1/3 = tan 10⁰ untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
8. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tan (2x – 60⁰) = 1, pada interval 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
9. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos(x +) = cos  pada interval 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰
10. Gunakan substitusi t = θ untuk mengubah persamaan 6 sin θ + 8 cos θ = 7 ke bentuk persamaan kuadrat dengan t sebagai peubah, kemudian tentukan semua nilai θ dengan interval 0⁰ ≤ x ≤ 180⁰ yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut ( gunakan kalkulator atau tabel karena sudutnya bukan sudut istimewa