RELASI DAN FUNGSI

23/11/2016 Syaiful Nurhidayat, M.Pd MATEMATIKA, Pembelajaran 0

A. Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke B disebut Relasi dari A ke B, Di tulis : R : A→B.

Istilah-istilah :

  • Himpunan A disebut Domain = Daerah Asal
  • Himpunan B disebut Kodomain = Daerah Kawan
  • Range = Daerah Hasil

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan beberapa cara ,  yaitu : Himpunan pasangan berurutan, Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan

1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

  1. Membuat dua lingkaran atau ellips
  2. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
  3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
  4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
  5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

  1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
  2. y=B diletakkan pada sumbu tegak
  3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

4. Dengan Rumus

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) + 2x-1.Tentukan hasilnya

Jawab
f(x) = 2x-1
f(1) = 2.2-1 = 1
f(2) = 2.2-1 =3
f(3) = 2.3-1 = 5
f(4) = 2.4-1 = 7

B. Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan. Yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

Sifat Fungsi :

  1. Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
  2. Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
  3. Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
  4. Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

C. Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

  1. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
  2. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
  3. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Aljabar Fungsi

  1. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).
  2. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).
  3. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi

C. Contoh dan Pembahasan

Contoh 1

Empat orang anak yaitu Tias, Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata: Tias, Jamal, dan Farid memilih permainan voli. Jamal dan Farid memilih permainan basket. Farid dan Dika memilih permainan tenis. Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.

  1. Nyatakan dengan diagram panah,
  2. Nyatakan dengan diagram cartesius
  3. Nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.

Pembahasan :

  • Diagram Panah

  • Diagram Cartesius

  • Himpunan berpasangan : {(Tias, Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid, Tenis), (Dika, Tenis)}

D. Latihan

Setelah anda mempelajari Invers fungsi diatas silahkan kerjakan soal dibawah ini dengan menggunakan kertas folio bergaris

  1. Jika diketahui g(x) = x2 – 4x + 3 maka tentukan g-1(x)!
  2. Tentukan invers dari fungsi F(x) = (2x + 2)2 – 5 ?
  3. Invers dari fungsi f(x) = (7x + 5)/(3x – 4), x ≠ 4/3 adalah …
    A.(4x + 5)/ (3x – 7), x ≠ 7/3
    B.(7x + 5)/ (3x + 4), x ≠ -4/3
    C.(5x + 7)/ (4x – 3), x ≠ 3/4
    D.(7x + 4)/ (3x – 5), x ≠ 5/3
    E.(7x + 4)/ (3x + 5), x ≠ -5/3
  4. Jika f(x – 1) = (x – 1)/ (2 – x) dan f-1 adalah invers dari f maka f-1 (x + 1) sama dengan …
    A.-1/ (x + 1)
    B.x/ (x + 1)
    C.(x + 1)/ (x + 2)
    D.(x – 1)/ (x – 2)
    E.(2x + 1)/ (x + 2)
  5. Jika (f o g)(x) = 4x2 + 8x – 3 dan g(x) = 2x + 4, maka f-1 (x) sama dengan …
    A.x + 9
    B.2 + √x
    C.x 2 – 4x – 3
    D.2 + √(x + 1)
    E.2 + √(x + 7)
  6. Diketahui f(x) = (4x + 5)/ (x + 3), dan f-1 adalah invers dari f, maka sama f-1 (x) dengan …
    A.(-3x – 5)/ (x + 4), x ≠ -4
    B.(-3x + 5)/ (x – 4), x ≠ 4
    C.(3x + 5)/ (x – 4), x ≠ 4
    D.(3x – 5)/ (x – 4), x ≠ 4
    E.(3x + 5)/ (x + 4), x ≠ -4
  7. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan …
    A.x2 + 5x + 5
    B.x2 + x – 1
    C.x2+ 4x + 3
    D.x2 + 6x + 1
    E.x2 + 3x – 1
  8. Diketahui f : x → x + 2 dan h : x → x2 – 2. Jika (f o g o h)(x) = 2x2 + 4, maka g(x) adalah …
    A.2x + 3
    B.2x + 6
    C.2x + 9
    D.x + 5
    E.x – 3
  9. Jika f(x) = 1/ (2x – 1) dan (f o g)(x) = x/ (3x – 2), maka g(x) sama dengan …
    A.2 + 1/x
    B.1 + 2/x
    C. 2 – 1/x
    D. 1 – 1/x
    E. 2 – 2/x
  10. Jika f(x) = √(x + 1) dan (f o g)(x) = 2 √(x – 1), maka fungsi g(x) adalah …
    A.2x – 1
    B.2x – 3
    C.4x – 5
    D.4x – 3
    E.5x – 4

Download (PPTX, 258KB)

Latihan Soal Online Fungsi

Be the first to comment

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*