A. Pengertian Nilai Mutlak Dan Sifat-Sifatnya
Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x dilambang dengan |x|, dibaca: nilai mutlak x, adalah nilai tak negatif dari x dan –x. Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak yang diukur dari titik asal 0 pada garis bilangan. Dengan demikian nilai mutlak selalu bernilai positif.
Nilai Mutlak dinotasikan dengan | x |
Sebagai contoh |3|= 3, |-4|= 4, |1/2|= ½, dan |-1/4|= ¼. Ditetapkan pula bahwa nilai mutlak dari 0 adalah 0 itu sendiri atau |0|=0. Dengan demikian, untuk tiap bilangan real x maka berlaku |x| ≤ 0
Ilustrasi:
- Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.
- Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya
Permasalahan:
- Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah ke belakang.
a. Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut?
b. Tentukanlah berapa langkah posisi akhir anak tersebut dari posisi semula!
c. Tentukanlah berapa langkah yang dijalani anak tersebut!
Definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif. Perhatikan sketsa Lompatan berikut:
Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah ke belakang.
B.Persamaan Nilai Mutlak
Suatu persamaan yang peubahnya terdapat di dalam tanda nilai mutlak.
Cara Menyelesaikan persamaan nilai mutlak:
- Buatlah persamaan |f(x)| = x
- Selesaikan persamaan f(x) = a, kemudian tentukan penyelesaiannya
- Selesaikan persamaan f(x) =-a, kemudian tentukan penyelesaiannya
- Periksa dengan mensubtitusi nilai x kedalam persamaan awal
Contoh soal
Tentukan Himpunan penyelesaian dari |x-1|=2
Penyelesaian
Cara 1
|x-1|= 2 x²-2x+1=4
√(x-1)² = 2 x²-2x-3=0
(x-1) ² = 2² (x+1)(x-3)=0 ==> x₁= -1 atau x₂=3 (3,-1)
Cara 2
|x-1|=2
f(x) = a
x – 1 = 2
x = 2 + 1
x = 3
f(x) = -a
x – 1 = -2
x = -2 + 1
x = -1
Hp: (3, -1)
Pembuktian dengan Subtitusi :
HP : 3
|x-1|=2
|3-1| = 2
|2| = 2
HP : -1
|x-1|=2
|-1-1| = 2
|-2| = 2
C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Suatu pertidaksamaan yang peubahnya berada di dalam tanda nilai mutlak.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesain |x-3| < 4
Penyelesaian
|x-3|<4
-4 < x – 3 < 4
-4 + 3 < x <4 + 3
-1 < x < 7
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan |x-3| < 4 adalah -1 < x < 7
Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis sebagai {x| -1 < x < 7, x ϵ R}2
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaiannya |2x-3| < |x+4|
Penyelesaian
√(2x-3)² < √(x+4)²
(2x-3)² < (x+4)²
4x² – 12x + 9 < x² + 8x + 16
3x² – 20x – 7 < 0
(3x+1) (x-7) < 0
-1/3 < x < 7
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan
|2x-3| < |x+4| adalah {x|-1/3 < x < 7, x ϵ R }
D. Latihan Soal
- Tentukan Himpunan penyelesaian dari |x| = 6
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2p| = 18
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan | x – 4| = 7
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |5x + 3| = |2x|
- Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini
a. |x + 5| = 3
b.|2x – 3| = 5
c. |x+1|+2x =7
d. |3x+4|= x-8
6. Tentukan Himpunan penyelesaian dari |x-2|=|x+1|
7. Selesaikan himpunan penyelesaian berikut pada garis bilangan
a. 4(x+2) < 20
b. 7x – 5 ≥ x – 17
8. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
a. |x + 7| < 9
b. |2x – 1| ≥ 7
c. |x + 3| ≤ |2x – 3|
d. |3x + 1| – |2x +4| > 10
Leave a Reply