FUNGSI TRIGONOMETRI

Trigonometri artinya pengukuran dengan 3 sudut yaitu Sudut Sinus, Sudut Cosinus, dan Sudut Tangen. Konsep dari Trigonometri adalah perbandingan sisi-sisi a, b, c dari segitiga siku-siku yang bersesuaian.

1. Sudut SINUS adalah  perbandingan sisi segitiga siku- siku yang ada di depan sudut dengan sisi miring. —> SIDEMI
2. Sudut COSINUS  adalah perbandingan sisi segitiga siku-siku yang terletak di sudut dengan sisi miring. —> KOSAMI
3. Sudut TANGEN  adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut 90 derajat dengan sisi segitiga siku-siku. —> TANDESA

Sudut-sudut istimewa

Suatu fungsi dinotasikan dengan f(x), Perhatikan fungsi-fungsi yang ditentukan sebagai berikut:

1. f(x) = sin x ^o
2. f(x) = cos x ^o
3. f(x) = tan x ^o
4. f(x) = 2 sin x ^o
5. f(x) = cos 2x ^o

Fungsi-fungsi di atas merupakan contoh fungsi trigonometri, Kita dapat menentukan nilai suatu fungsi trigonometri, untuk setiap x anggota daerah asal yang diberikan.

Contoh :

1  Suatu fungsi trigonometri ditentukan oleh f(x) = cos x^o Hitung nilai fungsi f untuk nilai x sebagai berikut :

a.  x = 60    b. x = 150      c. x = 225

Penyelesaian

Ditentukan f(x) = cos x^o, maka :
a. f(60) = cos 60o =1/2
b. f(150) = cos 150o  = -1/√3
c.  f(225) = cos 225o = -1/√2

2. Tentukan Nilai fungsi trigonometri f(x)= tan x, untuk x = 4/3 π

B. Persamaan Trigonometri

Persamaan sin x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α

1. Jika sin x = sin α, maka |x = α + k . 360°| atau x = (180° – α) + k . 360°
2. Jika cos x = cos α, maka |x = α + k . 360°| atau x = (360° – α) + k . 360° = -α + k . 360°
3. Jika tan x = tan α, maka x = α + k . 180°

Contoh soal :

Contoh 1 :

Himpunan penyelesaian sin x = 1/2 untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o adalah…
A. {30^o ; 150^o }
B. {30^o ; 390^o }
C. {150^o ; 390^o }
D. {150^o ; 510^o }
E. (390^o ; 510^o }

Pembahasan
sin x = 1/2 maka sin x = sin 30^o
Jadi a = 30^o
Sehingga
x = a + n . 360^o
n = 0 maka x = 30^o + 0 . 360^o = 30^o
n = 1 maka x = 30^o + 1 . 360^o = 390^o

x = (180^o – a) + n . 360^o
n = 0 maka x = (180^o – 30^o ) + 0 . 360^o = 150^o
n = 1 maka x = (180^o – 30^o ) + 1 . 360^o = 510^o
Jadi himpunan penyelesaiannya = {30^o ; 150^o }
Nilai x = 390^o dan x = 510^o tidak termasuk himpunan penyelesaian karena diluar rentang 0^o ≤ x ≤ 360^o .
Jawaban: A

Contoh 2
Himpunan penyelesian cos x = 1/2 √3 untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o adalah…
A. {- 30^o ; 320^o }
B. {- 30^o ; 390^o }
C. {30^o ; 320^o }
D. {30^o ; 390^o }
E. {320^o ; 390^o }

Pembahasan
cos x = 1/2√3 maka cos x = cos 30^o
Jadi a = 30^o
Sehingga
x = a + n . 360^o
n = 0 maka x = 30^o + 0 . 360^o = 30^o
n = 1 maka x = 30^o + 1 . 360^o = 390^o

x = – a + n . 360^o
n = 0 maka x = – 30^o + 0 . 360^o = – 30^o
n = 1 maka x = – 30^o + 1 . 360^o = 320^o
Jadi himpunan penyelesaiannya = {30^o ; 320^o }
Jawaban: C

Contoh 3

Himpunan penyelesaian dari cos (x – 30^o ) = 1/2 untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o adalah…
A. {30^o ; 330^o }
B. {60^o ; 450^o }
C. {90^o ; 450^o }
D. {90^o ; 330^o }
E. {330^o ; 450^o }

Pembahasan
cos (x – 30^o ) = 1/2 maka cos (x – 30^o ) = cos 60^o
Jadi a = 60^o
Sehingga
x – 30^o = a + n . 360^o
n = 0 maka x – 30^o = 60^o + 0 . 360^o —> x = 60^o + 30^o = 90^o
n = 1 maka x – 30^o = 60^o + 1 . 360^o —> x = 420^o + 30^o = 450^o

x – 30^o = – a + n . 360^o
n = 0 maka x – 30^o = – 60^o + 0 . 360^o —> x = – 60^o + 30^o = – 30^o
n = 1 maka x – 30^o = – 60^o + 1 . 360^o —> x = 300^o + 30^o = 330^o
Jadi himpunan penyelesaiannya = {90^o ; 330^o }
Jawaban: D

Contoh 4
Himpunan penyelesaian cos 2x + sin x = 0 untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o adalah….
A. (- 30^o ; 90^o }
B. {30^o ; 210^o }
C. {90^o ; 210^o }
D. {180^o : 210^o }
E. {210^o ; 330^o }

Pembahasan
Berdasarkan rumus sudut rangkap:
cos 2x = 1 – 2 sin² x
Maka:
cos 2x + sin x = 0
1 – 2 sin² x + sin x = 0
2 sin² x – sin x – 1 = 0
(2 sin x + 1) (sin x – 1) = 0
2 sin x + 1 = 0
2 sin x = – 1
sin x = – 1/2

sin x = 1

Untuk sin x = – 1/2 maka sin x = sin 210^o
Jad a = 210^o
Sehingga
x = a + n . 360^o
n = 0 maka x = 210^o + 0 . 360^o = 210^o

x = (180^o – a) + n . 360^o
n = 0 maka x = (180^o – 210^o ) + 0 . 360^o = – 30^o
n = 1 maka x = (180^o – 210^o ) + 1 . 360^o = – 30^o + 360^o = 330^o
Jadi himpunan penyelesaiannya {210^o ; 330^o }
Jawaban: E

Latihan

Latihan 1
Tulislah akar masing-masing persamaan trigonometri dibawah ini
a. sin x = sin 40⁰, 0 ≤ x ≤ 360⁰
b. tan x = tan 54⁰, 0 ≤ x ≤ 360⁰
c. cos x = cos 14⁰, 0 ≤ x ≤ 360⁰

Latihan 2
a. Tentukan himpunan persamaan sin 2x = 0,6665, untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰
b. Tentukan himpunan persamaan cos 2x = 0,9397, untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰
c. Tentukan himpunan persamaan tan x = 0,8391, untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰

Latihan 3
Tentukan himpunan penyelesaian umum untuk setiap persamaan trigonometri berikut
a. tan 3x – tan 4/3 π = 0
b. sin(-2x) = sin 3/2 π
c. cos 2x = cos π /5

Latihan 4
a. Selesaikan persamaan sin x = -0,7 Untuk -180⁰≤ x ≤ 180⁰
b. Selesaikan persamaan sin 1/3 (θ – 30)⁰ = 1/3√3, Untuk 0⁰≤ x ≤ 360⁰
c. Selesikan persamaan cos θ⁰ = 1/3 untuk 0⁰≤ x ≤ 360⁰

Latihan 5
a. Selesaikan persamaan sin 1/3(α -30)⁰ = 1/2√2, Untuk 0⁰≤ x ≤ 360⁰

b. Selesaikan persamaan cos α = 1/3 , Untuk 0⁰≤ x ≤ 360⁰

c. Carilah HP. dari persamaan cos 3x = – 1/2 untuk -π ≤ x ≤ π

C. Grafik fungsi Trigonometri