Eksponen dan Logaritma

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat peubah
Contoh :
4^x – 2^x – 6 = 0
2^3x-2 = 128

A. Persamaan eksponen berbentuk a^p = a^q

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan a^p = a^q maka p = q
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
1. 2^3x-2 = 128
2. 5^{x2 + 6x – 42} = 3125^{12 – x}
3. 4^2x – 18^x + 4 = 0
4. 3^{2x + 4} = 1

5.

B. Persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b ^f(x)

Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0).

Jika a^f(x) = b ^f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

Contoh :
Carilah semua x yang memenuhi 25.5 ^{2x – 5} = 3 ^{2x – 3}

C. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus melihat semua kemungkinan yaitu :

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))^g(x) ≠ 0. Maka kita dapat membagi kedua ruas dengan (h(x))^g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))^f(x) : (h(x))^g(x) = (h(x))^g(x) : (h(x))^g(x)
  (h(x))^{f(x) – g(x)} = 1
  Dari bentuk terakhir ini dapat dipenui kemungkinan berikut
  • Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
  • Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Dengan demikian dapat disimpulkan :

Penyelesaian persamaan (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x) adalah semua x yang memenuhi persamaan:

1. h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
2. h(x) = 1
3. h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
4. h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)^{x2 – 4} = (x – 5)^{2 – x}

D. Soal Latihan

1. Tentukan nilai dari:
   a) ²log 8 + ³log 9 + ⁵log 125
   b) ²log 1/8 + ³log 1/9 + ⁵log 1/125
2. Tentukan nilai dari
   a) ⁴log 8 + ²⁷log 9
   b) ⁸log 4 + ²⁷log 1/9
3. Tentukan nilai dari:
   a) ^√2log 8
   b) ^√3log 27
4. Diketahui:
   log p = A
   log q = B
   Tentukan nilai dari log p³ q²
5. Diketahui
   log 40 = A dan log 2 = B, tentukan nilai dari log 20
6. Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b. Tentukan nilai dari ⁶log 14
7. Diketahui ²log √ (12 x + 4) = 3. Tentukan nilai x
8. Tentukan nilai dari ³log ⁵log 125
9. Diketahui  ²log 3 = m dan  ²log 5 = n . Tentukan nilai dari ²log 90
10. Nilai dari ³log 54 + ³log 2 – ³log 4 – ³log 9

---